Công thức tính thể tích hình nón và các dạng bài tập có lời giải

Trong chương trình Toán, công thức tính thể tích hình nón là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Hình nón, với hình dáng giống kim tự tháp Ai Cập, là một trong những khối hình học không gian quen thuộc. Để giải bài tập liên quan đến hình nón, học sinh cần nắm vững các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích bề mặt, và thể tích. Những công thức này không chỉ cần thiết cho việc tính toán mà còn đóng vai trò quan trọng trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Mục lục ẩn

1. Định nghĩa

2. Công thức tính thể tích hình nón

3. Lưu ý

4. Bài tập vận dụng

1. Định nghĩa

Hình nón là một khối hình không có cạnh, có một đáy hình tròn và một đỉnh nằm ở trên cùng, được nối với đáy bằng các đoạn thẳng.

Cấu tạo của hình nón

Đỉnh (S): Là điểm cao nhất của hình nón.
Đường sinh (l): Là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến một điểm bất kỳ trên đường tròn đáy.
Bán kính đáy (r): Là bán kính của hình tròn đáy.
Chiều cao (h): Là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến mặt phẳng đáy.
Đường tròn đáy: Là hình tròn tại đáy của hình nón.

Liên hệ thực tế: Liên hệ hình nón với các vật thể thực tế (như nón lá, kem ốc quế) để hiểu rõ hơn về ứng dụng của các công thức này.

2. Công thức tính thể tích hình nón

Diện tích xung quanh: $ S_{xq} = \pi r l $

Trong đó:

$r$: Bán kính đáy.
$l$: Đường sinh, tính theo công thức: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Diện tích toàn phần: $ S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = \pi r l + \pi r^2 $

Thể tích của hình nón được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Trong đó:

$ V $ là thể tích của hình nón.
$ r $ là bán kính của đáy hình nón.
$ h $ là chiều cao của hình nón.
$ \pi $ là hằng số Pi, khoảng 3.14159.

Giải thích các thành phần trong công thức

Giải thích các thành phần trong công thức tính thể tích hình nón

Bán kính (r): Bán kính là khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến một điểm trên vòng tròn đáy. Nó quyết định kích thước của đáy và ảnh hưởng lớn đến thể tích của hình nón.

Chiều cao (h): Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh hình nón xuống mặt phẳng của đáy. Chiều cao càng lớn thì thể tích hình nón càng lớn.

Hằng số Pi ($ \pi $): Là một hằng số toán học, thể hiện tỉ lệ giữa chu vi của một hình tròn với đường kính của nó. Hằng số này được sử dụng trong công thức tính diện tích của đáy hình nón.

3. Lưu ý

Lưu ý về mối quan hệ giữa các yếu tố

Đường sinh ($l$), bán kính đáy ($r$) và chiều cao ($h$) liên hệ với nhau qua định lý Pythagoras: $ l^2 = r^2 + h^2 $
Hiểu rõ sự khác biệt giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần:
Diện tích xung quanh chỉ tính phần bề mặt bên ngoài (không tính đáy).
Diện tích toàn phần bao gồm cả diện tích đáy.

Mối liên hệ giữa hình nón và các hình khối khác

Hình nón có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều hình khối khác, đặc biệt là hình trụ và hình chóp. Cả ba hình khối này đều có công thức tính thể tích tương tự, nhưng với các đặc điểm khác nhau.

Hình trụ:

Thể tích hình trụ được tính bằng công thức: $V = \pi r^2 h$
Ta thấy rằng thể tích của hình nón là một phần ba thể tích của hình trụ có cùng bán kính và chiều cao.

Hình chóp:

Thể tích của hình chóp có đáy là một đa giác được tính bằng công thức tương tự: $V = \frac{1}{3} A_b h$
Trong đó $ A_b $ là diện tích đáy của hình chóp. Hình chóp cũng có thể coi như một sự mở rộng của hình nón khi đáy không còn là hình tròn.

4. Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Khi cho tam giác SOA vuông tại O quay quanh cạnh SO một vòng, ta được một hình nón. Biết OA = 8 cm, SA = 17 cm. Tính thể tích của hình nón.

Lời giải

Tam giác SOA vuông tại O nên theo định lí Pythagore ta có

SO² + OA² = SA²

SO² + 8² = 17²

SO² = 289 – 64 = 225

$SO = \sqrt {225} = 15\left( {cm} \right)$ $ \Rightarrow h = 15\left( {cm} \right)$

Thể tích của hình nón là:

Bài tập 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, đường sinh bằng 10 cm. Tính thể tích của hình nón.

Lời giải

Độ dài đường cao của hình nón là: $h = \sqrt {{\ell ^2} – {r^2}} $$ = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}} $$ = 8\left( {cm} \right)$

Thể tích của hình nón là: $V = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.h$$ = \frac{1}{3}.\pi {.6^2}.8$$ = 96\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Bài tập . Từ một khối gỗ có dạng hình lập phương cạnh 6 cm, người ta khoét một hình nón có đường kính mặt đáy là 4 cm và đỉnh của hình nón chạm vào mặt đáy của khối gỗ (Hình 10). Hãy tính thể tích của phần khối gỗ còn lại (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

Thể tích khối lập phương là: V₁ = 6³ = 216 (cm³).

Bán kính mặt đáy của phần khoét hình nón là:

V = V₁ – V₂ = 216 – 8π ≈ 191 (cm³).

Vậy thể tích của phần khối gỗ còn lại khoảng 191 cm³.

Bài tập 3. Một cái mũ chú hề có kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

Bán kính đáy của phần mũ hình nón là: $r = \frac{{35 – 10.2}}{2} = 7,5\left( {cm} \right)$ $r = \frac{35 - 10 \cdot 2}{2} = 7, 5 (c m) .$

Diện tích xung quanh của phần mũ hình nón là:

S_xq = πrl = π . 7,5 . 30 = 225π (cm²).

$S = \pi .{\left( {\frac{{35}}{2}} \right)^2} – \pi .{\left( {7,5} \right)^2} = 250\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) là:

250π + 225π = 475π ≈ 1 492 (cm²).

Vậy tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) khoảng 1492 cm².

Bài tập 4. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 5 cm, BC = 13 cm. Quay tam giác vuông ABC một vòng xung quanh đường thẳng AC ta được hình nón. Hỏi thể tích của hình nón đó bằng bao nhiêu centimet khối ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải